外磁场下的哈密顿量

外磁场下的系统的哈密顿量是非常重要的，在量子力学中描述了粒子在外磁场中的行为。哈密顿量可以表示为：

考虑一个带电粒子（电荷量为$q$）在外磁场中的情况。它的哈密顿量可以写为：

\[ H = \frac{1}{2m} ( \mathbf{p} q\mathbf{A} )^2 q\phi \]

其中，$m$ 是粒子的质量，$\mathbf{p}$ 是动量算符，$\mathbf{A}$ 是矢势，$\phi$ 是标势。

如果考虑自旋，可以将自旋磁场相互作用引入哈密顿量：

\[ H_{\text{spin}} = \boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{B} \]

其中，$\boldsymbol{\mu}$ 是磁矩，$\mathbf{B}$ 是磁场。

将电磁场与自旋磁场相互作用加在一起，得到完整的外磁场下的哈密顿量。

在《张朝阳的物理课》中，量子力学导出了顺磁效应和抗磁效应。这两种效应可以由考虑外磁场下的能级结构得到。

顺磁效应是指材料在外磁场下，磁化率随外磁场的增加而增加的效应。这可以通过对外磁场下的哈密顿量进行求解，得到能级分裂的结果，进而计算磁化率。

抗磁效应是指材料在外磁场下，磁化率随外磁场的增加而减小的效应。同样可以通过哈密顿量的求解和能级结构的分析得到。

通过量子力学的计算，可以解释和预测材料在外磁场下的行为，这对于理解物质的磁性和性质非常重要。